Как Работают Тесселяции

{h1}

Тесселяции состоят из единственной формы, повторяемой в двумерной плоскости без промежутков. Узнайте о тесселяции на WordsSideKick.com.

Мы изучаем математику за ее красоту, элегантность и способность кодифицировать узоры, вплетенные в ткань вселенной. В своих фигурах и формулах светский порядок воспринимает и религиозный улов отдаленно отголоски языка творения. Математика достигает возвышенного; иногда, как и в тесселяции, это поднимается до искусства.

Паркеты - бесщелевые мозаики определенных форм - принадлежат к разряду соотношений, констант и узоров, которые повторяются в архитектуре, выявляются под микроскопами и излучаются из каждой соты и подсолнуха. Соберите любое количество уравнений в геометрии, физике, вероятности и статистике, даже в геоморфологии и теории хаоса, и вы найдете пи (π), расположенный как краеугольный камень. Число Эйлера (e) многократно поднимает голову в исчислении, расчетах радиоактивного распада, формулах сложных процентов и некоторых нечетных случаях вероятности. Золотое сечение (φ) сформировало основу искусства, дизайна, архитектуры и музыки задолго до того, как люди открыли его, оно также определило естественное расположение листьев и стеблей, костей, артерий и подсолнечника или соответствовало часовому циклу мозговых волн [источники: Падован, Вайс, Ропун]. Он даже имеет отношение к другому излюбленному многолетнему паттерну, последовательности Фибоначчи, которая производит свою собственную уникальную последовательность плиток.

Наука, природа и искусство также переполняются тесселяциями. Подобно π, e и φ, примеры этих повторяющихся узоров окружают нас каждый день, от мирских тротуаров, обоев, мозаики и плиточных полов до великого искусства голландского художника-графика М.С. Эшер, или захватывающая дух работа мавританского укрепления 14-го века, Альгамбра, в Гранаде, Испания. На самом деле, слово «тесселяция» происходит от tessella, уменьшительная форма латинского слова кубикиндивидуальный, как правило, квадратный, мозаика. кубик в свою очередь может возникнуть из греческого слова tessares, что означает четыре.

Математика, наука и природа зависят от таких полезных моделей, какими бы они ни были. Помимо трансцендентной красоты мозаики или гравюры, тесселяции находят применение в математике, астрономии, биологии, ботанике, экологии, компьютерной графике, материаловедении и различных симуляциях, включая дорожные системы.

В этой статье мы покажем вам, что представляют собой эти математические мозаики, какие виды симметрии они могут иметь и какие специальные тесселяции математики и ученые хранят в своем наборе инструментов для решения проблем.

Сначала давайте посмотрим, как построить тесселяцию.

Формируете, или не могли бы вы повторить это, пожалуйста?

Тесселяции управляют гаммой от базовых до ошеломляющих. Самые простые из них состоят из одной фигуры, которая покрывает двумерную плоскость, не оставляя пробелов. Оттуда небо - предел, от сложных рисунков нескольких неправильных форм до трехмерных тел, которые соединяются вместе, чтобы заполнить пространство или даже более высокие измерения.

Три правильные геометрические формы тесселяются между собой: равносторонние треугольники, квадраты и шестиугольники. Другие четырехсторонние фигуры тоже подходят, включая прямоугольники и ромбоиды (ромбы). Расширяя, неравносторонние треугольники плавно растягиваются, если помещаются вплотную, создавая параллелограммы. Как ни странно, шестиугольники любой формы тесселяются, если их противоположные стороны равны. Следовательно, любая четырехсторонняя форма может образовывать мозаику без промежутков, если ее размещать вплотную, образуя шестиугольник.

Вы также можете создавать мозаику для плоскости, комбинируя правильные многоугольники или смешивая правильные и полурегулярные многоугольники в определенных расположениях. Полигоны - это двумерные фигуры, состоящие из отрезков, таких как треугольники и прямоугольники. Правильные многоугольники - это особые случаи многоугольников, в которых все стороны и все углы равны. Равносторонние треугольники и квадраты являются хорошими примерами правильных многоугольников.

Все тесселяции, даже стройные и сложные, такие как М.С. Эшера, начните с формы, которая повторяется без пробелов. Хитрость заключается в том, чтобы изменить форму - скажем, ромбоид - чтобы она все еще плотно прилегала друг к другу. Один простой подход предполагает вырезание фигуры с одной стороны и вставку ее на другую. Это создает форму, которая подходит друг другу и легко складывается. Чем больше сторон вы изменяете, тем интереснее становится рисунок.

Если вы чувствуете себя более предприимчивым, попробуйте нарисовать волнистую линию на одной стороне, а затем скопировать ту же линию на противоположную сторону. Этот подход может потребовать некоторой настройки, чтобы заставить части правильно соединяться. Например, если у вашего многоугольника нечетное количество сторон, вы можете разделить оставшуюся сторону пополам, а затем нарисовать зеркально отраженные фигуры по обе стороны от разделения. Это создает сторону, которая сцепляется с собой.

Испытайте свою удачу с двумя или более фигурами, которые создают мозаику. Вы можете сделать это геометрически или просто заполнить страницу любой понравившейся вам формой, а затем представить изображение, которое соответствует отрицательному пространству. Родственный способ влечет за собой заполнение известной мозаичной формы более мелкими формами. Есть даже фрактальные тесселяции - модели форм, которые плотно прилегают друг к другу и являются самоподобными в разных масштабах.

Не волнуйтесь, если ваши начальные результаты кажутся немного бессмысленными. Эшеру потребовались годы, чтобы освоить эти безумные мозаики, и даже у него были пары, которые не всегда имели смысл.

Теперь, когда мы заложили основу, давайте взглянем на некоторые специальные тесселяции, которые исследователи используют для решения сложных теоретических и прикладных задач.

Конферансье Эшер

Нет тесселяции талант затмевает голландский художник-график М.С. Эшер. Литератор, резчик по дереву и гравер, Эшер заинтересовался возвышенными формами после посещения Альгамбры в молодости [источник: Университет Сент-Эндрюс].

Хотя Эшер и не был первым, кто переместил тесселяции из геометрических форм в органические и фантастические, он зарекомендовал себя как выдающийся практикующий специалист. Его причудливые, ослепительные и зачастую невозможные произведения искусства остаются широко популярными сегодня.

Черепица Вселенной: специальные тесселяции

Это тесселяция Вороного рассматривает плотность фотонов в определенной области. Каждая точка в ячейке представляет фотон.

Это тесселяция Вороного рассматривает плотность фотонов в определенной области. Каждая точка в ячейке представляет фотон.

По мере того, как исследователи изучали тесселяции и определяли их математически, они идентифицировали определенные типы, которые превосходно решают сложные проблемы. Одним из популярных примеров является Вороной тесселяция (Вермонт) также известный как тесселяция Дирихле или полигоны Тиссена.

VT - это тесселяция, основанная на наборе точек, таких как звезды на графике. Каждая точка окружена многоугольной ячейкой - замкнутой формой, сформированной из отрезков линии - которая охватывает всю область, которая находится ближе к ее определяющей точке, чем к любой другой точке. Границы ячейки (или сегменты многоугольника) равноудалены от двух точек; узлы, где встречаются три или более ячеек, равноудалены от трех или более определяющих точек. VTs могут тесселяции и более высокие размеры.

Результирующая картина VT напоминает вид сот, которые пчела может построить после ночного изгиба нектара. Тем не менее, то, что этим тупым клеткам не хватает в красоте, они более чем восполняют в цене.

Как и другие тесселяции, ВЦ всплывают неоднократно в природе. Легко понять почему: любое явление, включающее точечные источники, растущие вместе с постоянной скоростью, например споры лишайников на скале, приведет к образованию VT-подобной структуры. Наборы связанных пузырьков образуют трехмерные VT, исследователи сходства пользуются преимуществами при моделировании пены.

VT предоставляют удобный способ визуализации и анализа шаблонов данных. Пространственно распределенные пространственные данные будут выделяться на VT как области, заполненные ячейками. Астрономы используют это качество, чтобы помочь им в идентификации скоплений галактик.

Поскольку компьютерный процессор может создавать VT на лету из точечных исходных данных и набора простых инструкций, использование VT экономит как память, так и вычислительную мощность - жизненно важные качества для создания современной компьютерной графики или для моделирования сложных систем. Сокращая необходимые вычисления, VT открывают двери для невозможных в других отношениях исследований, таких как сворачивание белка, клеточное моделирование и моделирование ткани.

Близкий по отношению к VT, Тесселяция Делоне также может похвастаться множеством применений. Чтобы создать тесселяцию Делоне, начните с VT, а затем проведите линии между определяющими ячейки точками так, чтобы каждая новая линия пересекала общую линию двух многоугольников Вороного. Получающаяся в результате решетка из пухлых треугольников обеспечивает удобную структуру для упрощения графики и рельефа.

Математики и статистики используют тесселяции Делоне, чтобы ответить на неисчислимые вопросы, такие как решение уравнения для каждой точки пространства. Вместо того чтобы пытаться выполнить этот бесконечный расчет, они вычисляют одно решение для каждой ячейки Делоне.

В своем обращении к Прусской академии наук в Берлине от 27 января 1921 года Эйнштейн сказал: «Поскольку законы математики относятся к реальности, они не являются определенными; и насколько они уверены, они не относятся к к реальности. " Очевидно, что тесселяционные приближения не достигают совершенства. Тем не менее, они обеспечивают прогресс за счет уменьшения громоздких проблем до формы, управляемой текущей вычислительной мощностью. Более того, они напоминают нам об основополагающей красоте и порядке космоса.

Страшная симметрия

Все двумерные плоскости с повторяющимися узорами попадают в одну из 17 «групп обоев», которые описывают их типы симметрии (хотя не все тесселяции симметричны) [источник: Джойс]. Четыре основные категории включают в себя:

  1. поступательный: Сдвиньте плоскость в определенном направлении, и она останется неизменной
  2. вращающийся: Повернуть плоскость на некоторый угол, и она останется неизменной
  3. Скользящее отражение: Сдвиньте плоскость вдоль вектора и отразите ее примерно в том же векторе, и она останется неизменной
  4. Зеркальная симметрия (простое отражение): Поднесите зеркало к части плоскости, и оно останется неизменным (особый случай отражения скольжения)

Знаменитые мозаики Альгамбры имеют 13 групп симметрии. В египетском искусстве использовалось 12 [источников: Грюнбаум].





RU.WordsSideKick.com
Все права защищены!
Перепечатка материалов разрешена только с простановкой активной ссылки на сайт RU.WordsSideKick.com

© 2005–2020 RU.WordsSideKick.com